Question

甲、乙、丙三人輪流投擲一枚質地均勻的正方體骰子，規則如下：如果某人某一次擲出1點，則下一次繼續由此人擲，如果擲出其他點數，則另外兩個人抓鬮決定由誰來投擲，且第一次由甲投擲．設第n次由甲投擲的概率是p_n，由乙或丙投擲的概率均為q_n．
（1）計算p₁，p₂，p₃的值；
（2）求數列{P_n}的通項公式；
（3）如果一次投擲中，由任何兩個人投擲的概率之差的絕對值小于0.001，則稱此次投擲是“機會接近均等”，那么從第幾次投擲開始，機會接近均等？

Answer 1

分析：（1）根據規則，可求p₁，p₂，p₃的值；
（2）設第n-1次由甲投擲的概率是p_n-1（n≥2），則第n-1次由甲投擲而第n次仍由甲投擲的概率是

1

6

pn-1，第n-1次由另兩人投擲而第n次由甲投擲的概率是

1

2

×

5

6

(1-pn-1)，…，由此可得通項公式；
（3）由qn=

1-pn

2

，結合（2）的結論，利用任何兩個人投擲的概率之差的絕對值小于0.001，建立不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意，p1=1，p2=

1

6

，p3=

1

36

+

1

2

×

5

6

×(1-

1

6

)=

3

8

…（5分）
（2）設第n-1次由甲投擲的概率是p_n-1（n≥2），則
第n-1次由甲投擲而第n次仍由甲投擲的概率是

1

6

pn-1，
第n-1次由另兩人投擲而第n次由甲投擲的概率是

1

2

×

5

6

(1-pn-1)，…（9分）
于是pn=

1

6

pn-1+

1

2

×

5

6

(1-pn-1)=-

1

4

pn-1+

5

12

，
遞推得pn=

2

3

•(-

1

4

)n-1+

1

3

．  …（12分）
（3）由qn=

1-pn

2

，得|pn-qn|=

1

4n-1

＜0.001，∴n≥6
故從第6次開始，機會接近均等．…（15分）

點評：本題考查概率知識的運用，考查數列通項的確定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．