Question

設拋物線頂點在原點，焦點在y軸負半軸上，M為拋物線上任一點，若點M到直線l：3x+4y-14=0的距離的最小值為1，求此拋物線的標準方程．

Answer 1

分析：設出拋物線方程與直線3x+4y+m=0聯立，利用判別式為0，求出相切時m的值，利用點M到直線l：3x+4y-14=0的距離的最小值為1，建立方程，即可求得結論．

解答：解：設拋物線的方程為x²=-2py，則由

x2=-2py 3x+4y+m=0

，∴2x²-3px-pm=0
∴△=9p²+8pm=0，∴m=-

9

8

p
∵點M到直線l：3x+4y-14=0的距離的最小值為1，
∴d=

|14- 9 8 p|

5

=1
∴p=8或p=

152

9

（舍去），
∴拋物線方程為：x²=-16y

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的標準方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題．