Question

已知函數f(x)=loga(ax-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）證明函數f（x）的圖象在y軸的一側；
（2）當0＜a＜1時，判斷函數y=f（x）的單調性，并加以證明；
（3）求函數y=f（2x）與y=f^-1（x）的圖象的公共點的坐標．

Answer 1

分析：（1）函數圖象的左右位置由函數定義域決定，可求出其定義域說明；
（2）根據函數單調性的定義證明；
（3）方程f（2x）=f^-1（x）的解即為公共點的橫坐標，進而可求出其縱坐標．

解答：（1）證明：令a^x-1＞0，得a^x＞1，當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0．
所以當a＞1時，f（x）的定義域為（0，+∞）；當0＜a＜1時，f（x）的定義域為（-∞，0）．
故函數f（x）的圖象在y軸的一側．
（2）解：當0＜a＜1時，函數f（x）單調遞增．下面證明之：
當0＜a＜1時，f（x）的定義域為（-∞，0）．
設x₁＜x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)
=loga

ax1-1

ax2-1

，∵0＜a＜1，x₁＜x₂＜0，∴ax1-1＞ax2-1＞0，
∴

ax1-1

ax2-1

＞1，又0＜a＜1，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故當0＜a＜1時，f（x）單調遞增．
（3）f（2x）=loga(a2x-1)，f^-1（x）=loga(ax+1)，
令loga(a2x-1)=loga(ax+1)，得a^2x-1=a^x+1，即a^2x-a^x-2=0，
∴a^x=2或a^x=-1（舍），
∴x=log_a2，則f^-1（log_a2）=log_a3．
故函數y=f（2x）與y=f^-1（x）的圖象的公共點的坐標為（log_a2，log_a3）．

點評：本題考查了對數函數的圖象性質、復合函數的單調性及反函數，準確理解有關概念，掌握其常用方法是解決該類題目的基礎．體會函數與方程的思想．