Question

【題目】如圖所示的幾何體中，垂直于梯形所在的平面，為的中點，，四邊形為矩形，線段交于點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）在線段上存在一點滿足題意，且

【解析】

(1)由題意結合線面平行的判定定理即可證得題中的結論；

(2)建立空間直角坐標系，利用兩個半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函數基本關系可得二面角的正弦值；

(3)假設點Q存在，利用直線的方向向量和平面的法向量計算可得點Q的存在性和位置.

（1）因為四邊形為矩形，所以為的中點.連接，

在中，分別為的中點，所以，

因為平面，平面，

所以平面.

（2）易知兩兩垂直，如圖以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.

則，所以.

設平面的法向量為，

則即解得

令，得

所以平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，

，據此可得 ，

則平面的一個法向量為，

，于是.

故二面角的正弦值為.

（3）設存在點滿足條件.

由，

設，整理得，

則.

因為直線與平面所成角的大小為，

所以

解得，

由知，即點與重合.

故在線段上存在一點，且.