Question

函數f（x）在R上既是奇函數又是減函數，且當θ∈（0，

π

2

）時，f（cos2θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是

m≥-

1

2

．

Answer 1

分析：根據函數是奇函數原不等式化簡為f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2），再借助于函數的單調性可得1-2sin²θ+2msinθ＜2m+2，利用換元法并且借助于恒成立問題的解決方法得到答案．

解答：解：∵函數f（x）在R上是奇函數，f（cos2θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0
∴f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）
∵y=f（x）是減函數，
∴cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．
∴1-2sin²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．
設t=sinθ∈[0，1]，等價于2t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．
只要g（t）=2t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．
（1）當m＜0時，最小值為g（0）=2m+1≥0，所以可得：0＞m≥-

1

2

（2）當0≤m≤1時，最小值為g（

m

2

）=-

1

2

m²+2m+1≥0，所以可得：0≤m≤1
（3）當m＞1時，最小值為g（1）=2≥0恒成立，得：m＞1，
綜之：m≥-

1

2

為所求的范圍．
故答案為：m≥-

1

2

．

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的綜合，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．