Question

（2008•奉賢區模擬）我們將具有下列性質的所有函數組成集合M：函數y=f（x）（x∈D），對任意x，y，

x+y

2

∈D均滿足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]，當且僅當x=y時等號成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大小．
（2）給定兩個函數：f1(x)=

1

x

(x＞0)，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．證明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）試利用（2）的結論解決下列問題：若實數m、n滿足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意中所給的定義直接判斷f（3）+f（5）與2f（4）大小即可；
（2）對于函數f₁（x）∉M可通過舉兩個反例，說明其不符合所給的定義可取x=1，y=2，對于f₂（x）∈M可按定義規則進行證明，任取x，y∈R⁺，求出f(

x+y

2

)=loga

x+y

2

利用基本不等式，得到loga

x+y

2

≥

1

2

loga(xy)=

1

2

(logax+logay)，即可證明出結論；
（3）參照（2）的方法，利用所給的定義及基本不等式作出變化，再判斷即可得出所求的最值

解答：解：（1）

f(3)+f(5)

2

≤f(

3+5

2

)，即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案寫成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）                        （4分）
（2）①對于f1(x)=

1

x

(x＞0)，取x=1，y=2，則
f1(

x+y

2

)=f1(

3

2

)=

2

3

1

2

[f2(x)+f2(y)]=

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

所以f(

x+y

2

)＜

1

2

[f(x)+f(y)]，f₁（x）∉M．（6分）
②對于f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）任取x，y∈R⁺，則f(

x+y

2

)=loga

x+y

2

∵

x+y

2

≥

xy

，而函數f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）是增函數
∴loga

x+y

2

≥loga

xy

，即loga

x+y

2

≥

1

2

loga(xy)=

1

2

(logax+logay)
則f2(

x+y

2

)≥

1

2

[f2(x)+f2(y)]，即f₂（x）∈M．（10分）
（3）設x=2^m，y=2ⁿ，則m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1．
由（2）知：函數g（x）=log₂x滿足g(

x+y

2

)≥

1

2

[g(x)+g(y)]，
得log2

x+y

2

≥

1

2

[log2x+log2y]，即log2

1

2

≥

1

2

(m+n)，則m+n≤-2（14分）
當且僅當x=y，即2m=2n=

1

2

，即m=n=-1時，m+n有最大值為-2．（16分）

點評：本題考查不等式的綜合題，考查了比較大小，基本不等式求最值的運用，對數的運算性質，解答本題關鍵是理解定義及基本不等式的運用規則，本題考查了理解能力及判斷推理的能力，考查了轉化的思想，本題綜合性強，注意總結本題的做題的規律