Question

已知點P（2，0）及圓C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）若圓C與圓x²+y²+2x-2y+m=0外切，求m的值；
（2）設過點P的直線l₁與圓C交于M、N兩點，當|MN|=4時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程．

Answer 1

分析：（1）此兩圓相外切?圓心距|CE|=R+r，即可解出；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．①當直線l₁的斜率存在時，設直線l₁的方程為y=k（x-2）．由圓C：x²+y²-6x+4y+4=0，圓心C（3，-2），半徑R=3．設圓心C到直線l₁的距離d．|MN|=4，利用勾股定理可得d2+(

|MN|

2

)2=R2，即可解得k．與圓的方程聯立即可得到根與系數的關系，利用中點坐標公式可得弦MN的中點，進而得出要求的圓的方程．②當直線l₁的斜率不存在時，弦長=2

R2-12

=4

2

不符合題意，應舍去．

解答：解：（1）圓C：x²+y²-6x+4y+4=0，化為（x-3）²+（y+2）²=9，圓心C（3，-2），半徑R=3．
圓Ex²+y²+2x-2y+m=0化為（x+1）²+（y-1）²=2-m，圓心E（-1，1），半徑r=

2-m

．
∵此兩圓相外切，∴|CE|=R+r，
∴

(-1-3)2+(1+2)2

=3+

2-m

，化為

2-m

=2，解得m=-2．
∴m的值為-2．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
①當直線l₁的斜率存在時，設直線l₁的方程為y=k（x-2）．
由圓C：x²+y²-6x+4y+4=0，圓心C（3，-2），半徑R=3．
∴圓心C到直線l₁的距離d=

|3k+2-2k|

k2+1

．
∵|MN|=4，∴d2+(

|MN|

2

)2=R2，
∴(

k+2

k2+1

)2+22=32，解得k=

1

2

．
聯立

y= 1 2 (x-2) x2+y2-6x+4y+4=0

，化為5x²-20x+4=0，
∴x₁+x₂=4，∴

x1+x2

2

=2．
∴

y1+y2

2

=

1

2

(2-2)=0，∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-2）²+y²=4．
②當直線l₁的斜率不存在時，弦長=2

R2-12

=4

2

不符合題意，應舍去．
故以線段MN為直徑的圓的方程為（x-2）²+y²=4．

點評：本題中考查了兩圓項外切的性質、直線與圓相交的位置關系、弦長公式、勾股定理、圓的標準方程、中點坐標公式、分類討論等多個基礎知識與基本技能方法，屬于難題．