Question

已知數列{a_n}時公差不為零的等差數列，a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數列，則數列{an•2an}的前n項和s_n=______．

Answer 1

∵a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數列，
∴a₁a₉=

a

23

，
即1+8d=（1+2d）²，
∴4d=4d²，
解得d=1，
∴a_n=1+n-1=n，an•2an=n•2ⁿ，
則s_n=1?2+2?2²+???+n?2ⁿ ①，
2Sn=1?22+2?23+???+n?2n+1，②，
兩式相減得：
-Sn=2+22+???+2n-n?2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n?2n+1=(1-n)?2n+1-2，
即Sn=(n-1)?2n+1+2，
故答案為：（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．