Question

2002年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從2003年開始，計劃每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化.

(1)設該縣的總面積為1，2002年底綠化面積為a₁=，經過n年后綠化的面積為a_n+1,試用a_n表示a_n+1;

(2)求數列{a_n}的第n+1項a_n+1;

(3)至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%?(lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)

Answer 1

解:(1)設現有非綠化面積為b₁,經過n年后非綠化面積為b_n+1.

    于是a₁+b₁=1,a_n+b_n=1.

    依題意，a_n+1是由兩部分組成，一部分是原有的綠化面積a_n減去被非綠化部分a_n后剩余的面積a_n，另一部分是新綠化的面積b_n，于是

    a_n+1=a_n+b_n=a_n+(1-a_n)

    =a_n+.

    (2)a_n+1=a_n+,a_n+1-=(a_n-).

    數列{a_n-}是公比為,首項為a₁-=-=-的等比數列.

    ∴a_n+1=+(-)()ⁿ.

    (3)a_n+1＞60%,+(-)()ⁿ＞,()ⁿ＜,n(lg9-1)＜-lg2,n＞≈6.572 0.

    至少需要7年，綠化率才能超過60%.