Question

【題目】如圖四棱錐中， 平面，底面是梯形， ， ， ， ， ， 為的中點(diǎn)， 為上一點(diǎn)，且（）．

（1）若時(shí)，求證： 平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求異面直線與直線所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）直線與直線所成角的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）第一問(wèn)，要證明平面，只需要證明，只需要證明四邊形是平行四邊形. (2)第二問(wèn)，一般利用向量的方法解答.先根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為求出，再異面直線所成的角的公式求出直線與直線所成角的余弦值為．

試題解析：（1）證明：若時(shí)， ，在上取，

連接， ，∵， ， ，

∴，且，

∵為的中點(diǎn)， ，∴，

又∵，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

又∵平面， 平面，

∴平面．

（2）如圖所示，

過(guò)點(diǎn)作于，則，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

∴點(diǎn)， ， ， ， ， ， ， ，

，

設(shè)平面的法向量為，則即令，則， ，

∴，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

，

解得，則， ， ，

設(shè)直線與直線所成角為，

則，

所以直線與直線所成角的余弦值為．