Question

已知定圓O₁、O₂的半徑分別為r₁、r₂，圓心距|O₁O₂|=2，動圓C與圓O₁、O₂都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條雙曲線，兩條雙曲線的離心率分別為e₁、e₂，則

e1+e2

e1e2

的值為（　　）

• A、r₁+r₂
• B、r₁和r₂中的較大者
• C、r₁和r₂中的較小者
• D、|r₁-r₂|

Answer 1

分析：不妨設r₂＞r₁．以線段O₁O₂的中點O為為坐標原點，直線O₁O₂為x軸建立直角坐標系．
①當動圓C與圓O₁、O₂都相外切時，|CO₂|-|CO₁|=r₂-r₁=2a，可得e1=

1

a

=

2

r2-r1

，

1

e1

=

r2-r1

2

．
②當動圓C與圓O₁相外切而與O₂相內切時，|CO₁|-|CO₂|=r₁+r₂=2a′，可得e2=

2

r1+r2

，

1

e2

=

r1+r2

2

．
進而得出答案．

解答：解：不妨設r₂＞r₁．
以線段O₁O₂的中點O為為坐標原點，直線O₁O₂為x軸建立直角坐標系．
①當動圓C與圓O₁、O₂都相外切時，|CO₂|-|CO₁|=r₂-r₁=2a，∴e1=

1

a

=

2

r2-r1

，∴

1

e1

=

r2-r1

2

．
②當動圓C與圓O₁相外切而與O₂相內切時，|CO₁|-|CO₂|=r₁+r₂=2a′，
∴e2=

2

r1+r2

，∴

1

e2

=

r1+r2

2

．
∴

e1+e2

e1e2

=

1

e1

+

1

e2

=

r2-r1

2

+

r2+r1

2

=r₂．
∴

e1+e2

e1e2

的值為r₂和r₁中較大的一個．
故選：B．

點評：本題考查了兩圓相切的性質、雙曲線的離心率，屬于難題．