Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{ a_n }的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n＞1，且

（Ⅰ）求｛a_n｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛b_n｝滿足并記T_n為｛b_n ｝的前n項(xiàng)和，求證：

Answer 1

（Ⅰ）解：由，解得a₁＝1或a₁＝2，

由假設(shè)a₁＝S₁＞1，因此a₁＝2。

又由a_n+1＝S_n+1- S_n＝，

得a_n+1- a_n-3＝0或a_n+1＝-a_n

因a_n＞0，故a_n+1＝-a_n不成立，舍去。

因此a_n+1- a_n-3＝0。從而｛a_n｝是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，

故｛a_n｝的通項(xiàng)為a_n＝3n-2。

（Ⅱ）證法一：由可解得

；

從而。

因此。

令,則

。

因，故

.

特別的。從而，

即。

證法二：同證法一求得b_n及T_n。

由二項(xiàng)式定理知當(dāng)c＞0時(shí)，不等式

成立。

由此不等式有

＝。

證法三：同證法一求得b_n及T_n。

令A_n＝，B_n＝，C_n＝。

因，因此。

從而

＞。