Question

已知兩定點，，滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）如果且曲線E上存在點C，使求m的值和△ABC的面積S．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先根據曲線的定義判斷出曲線E是雙曲線的左支，a和c已知，則可求得b，曲線E的方程可得．設出A，B的坐標，把直線方程與雙曲線方程聯立消去y，進而根據直線與雙曲線左支交于兩點A，B，聯立不等式求得k的范圍．
（Ⅱ）根據弦長公式求得|AB|的表達式，根據結果為6求得k，則直線AB的方程可得，設C（x，y），根據，可得；根據x₁+x₂和y₁+y₂的值求得C點的坐標，代入雙曲線方程求得m的值，進而求得點C到直線AB的距離，最后利用三角形面積公式求得三角形ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點的雙曲線的左支，
且，易知b=1
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組
消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，有
解得．

（Ⅱ）∵
==
=
依題意得
整理后得28k⁴-55k²+25=0
∴或
但∴
故直線AB的方程為
設C（x，y），由已知，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx，my）
∴，（m≠0）
又，
∴點C
將點C的坐標代入曲線E的方程，得得m=±4，
但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意
∴m=4，點C的坐標為C到AB的距離為
∴△ABC的面積
點評：本小題主要考查雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力．