Question

【題目】已知數列，的首項，且滿足，，其中，設數列，的前項和分別為，．

（Ⅰ）若不等式對一切恒成立，求．

（Ⅱ）若常數且對任意的，恒有，求的值．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下且同時滿足以下兩個條件：

（ⅰ）若存在唯一正整數的值滿足；

（ⅱ）恒成立．試問：是否存在正整數，使得，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在正整數，使得，此時，或者．

【解析】分析：（1）根據可得是公差的等差數列，代入等差數列的求和公式即可得出；（2）用表示出和，根據的范圍及恒等式得出，可得，從而可得結果；（3）利用條件可得，的通項，求出，，因為，所以，令，則，解之得，，故滿足的值為，，，根據分類討論思想可得出的存在性.

詳解：（Ⅰ）由題設數列的首項，公差為，則，

（Ⅱ）因為，，所以，

，故，又因為，

得，所以，

因為，

所以，所以，

故．

（Ⅲ）因為，所以或者，

若時，舍去，

若時，，故，

而，因為，所以，令，則，解之得，，故滿足的值為，，，

①當，若，則數列前為：，，，滿足，

若，則數列前項為：，，，不滿足舍去；

若，則數列前項為：，，，不滿足舍去；

若，則數列前項為：，，，不滿足舍去；

②當若，則數列前項為：，，不滿足；

若，則數列前項為：，，不滿足舍去；

③當，若，則數列前項為：，滿足；

若，則數列前項為：，不滿足舍去；

所以存在正整數，使得，此時，或者．