Question

已知雙曲線的左、右焦點分別為離心率為直線與C的兩個交點間的距離為

（I）求；

（II）設過的直線l與C的左、右兩支分別相交有A、B兩點，且證明：

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）見解析

【解析】（Ⅰ）由題設知，即，故.

所以C的方程為.

將y=2代入上式，求得.

由題設知，，解得.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程為.  ①

由題意可設的方程為，，代入①并化簡得

.

設，，則

，，，.于是

，

由得，即.

故，解得，從而.

由于，

，

故，

.

因而，所以、、成等比數列.

（1）利用待定系數法求解，利用已知條件建立含義的等量關系，進而確定曲線方程；(2)利用直線與曲線聯立方程組，借助韋達定理和弦長公式將、、表示出來，然后借助證明等比中項。

【考點定位】本題考查雙曲線方程與直線與雙曲線的位置關系，考查舍而不求的思想以及計算能力.