Question

設等比數列{a_n}滿足：S_n=2ⁿ+a（n∈N₊）．
（I）求數列{a_n}的通項公式，并求最小的自然數n，使a_n＞2010；
（II）數列{b_n}的通項公式為b_n=-

n

an

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（I）當n=1時，a₁=2+a當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（3分）
∵{a_n}為等比數列，
∴a₁=2+a=2^1-1=1，
∴a=-1
∴{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1（5分）
令2^n-1＞2010，又n∈N₊，
∴n≥12．
∴最小的自然數n=12（7分）
（II）bn=-

n

an

=-

n

2n-1

，Tn=-(1•1+2•

1

2

+3•

1

22

++n•

1

2n-1

)①（9分）

1

2

Tn=-[1•

1

2

+2•

1

22

+(n-1)

1

2n-1

+n•

1

2n

]②
②-①得-

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

-n•

1

2n

，
∴Tn=

n+2

2n-1

-4（14分）