Question

（2008•奉賢區二模）如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AA₁=8．
（1）求異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大小；（用反三角函數形式表示）
（2）若E是線段DD₁上（不包含線段的兩端點）的一個動點，請提出一個與三棱錐體積有關的數學問題（注：三棱錐需以點E和已知正四棱柱八個頂點中的三個為頂點構成）；并解答所提出的問題．

Answer 1

分析：（1）連接AC、AB₁，易知∠B₁CA為異面直線B₁C與A₁C₁所成角，在△B₁CA中利用余弦定理解之即可即可求出異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大小；
（2）本小題是開放題，第一種：提出問題：證明三棱錐E-B₁BC的體積為定值，根據三棱錐E-B₁BC與三棱錐D-B₁BC同底等高可得結論．
第二種：提出問題：三棱錐E-ADC的體積在E點從點D運動到D₁過程中單調遞增，根據三棱錐E-ADC的體積與DE成正比，可知V_E-ADC隨著DE增大而增大可得結論．

解答：解：（1）如圖，連接AC、AB₁，由AA1

∥

.

CC1，
知A₁ACC₁是平行四邊形，則A1C1

∥

.

AC，
所以∠B₁CA為異面直線B₁C與A₁C₁所成角．-----（2分）
在△B₁CA中，AC=4

2

，AB1=B1C=4

5

，
則cos∠ACB1=

AC2+B1C2-AB12

2AC•B1C

=

10

10

，
所以∠ACB1=arccos

10

10

．----------（4分）

（2）若學生能提出一些質量較高的問題，則相應給（3分），有解答的再給（5分）．
而提出一些沒有多大價值的問題則不給分．
若提出的問題為以下兩種情況，可以相應給分．
第一種：
提出問題：證明三棱錐E-B₁BC的體積為定值．-----（3分）
問題解答：如圖，因為DD₁∥平面B₁BCC₁，所以D₁D上任意一點到平面B₁BCC₁的距離相等，因此三棱錐E-B₁BC與三棱錐D-B₁BC同底等高，VE-B1BC=VD-B1BC．----------（3分）
而VD-B1BC=

1

3

•S△B1BC•DC=

1

3

×

1

2

×4×8×4=

64

3

，
所以三棱錐E-B₁BC的體積為定值

64

3

．----------（2分）
說明：1）若提出的問題為求三棱錐E-B₁BC的體積，則根據上述解答相應給分．
2）若在側面B₁BCC₁上任取三個頂點，與點E構成三棱錐時，結論類似，可相應給分．
若在側面A₁ABB₁上任取三個頂點，與點E構成三棱錐時，結論類似，可相應給分．
第二種：
提出問題：三棱錐E-ADC的體積在E點從點D運動到D₁過程中單調遞增．-----（3分）
問題解答：因為VE-ADC=

1

3

•S△ADC•DE，知S_△ADC為定值，
則三棱錐E-ADC的體積與DE成正比，可知V_E-ADC隨著DE增大而增大，又因為DE∈（0，8），----（3分）
即三棱錐E-ADC的體積在E點從點D運動到D₁過程中單調遞增．-----（2分）
說明：1）若提出的問題是求三棱錐E-ADC的體積范圍，也可相應給分．
解答：因為S_△ADC=8，而VE-ADC=

8

3

DE，DE∈（0，8），----（3分）
則VE-ADC∈(0，

64

3

)．----（2分）．

2）若在底面ABCD上任取三個頂點，與點E構成三棱錐時，結論類似，可相應給分．
若在底面A₁B₁C₁D₁上任取三個頂點，與點E構成三棱錐時，結論類似（單調遞減），
可相應給分．

點評：本題主要考查了異面直線所成角，以及體積的度量，同時考查了空間想象能力，以及發散性思維，屬于中檔題．