Question

【題目】在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.

（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）將曲線的極坐標方程變形為，再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的方程與曲線的方程聯立，求出點、的坐標，即可得出線段的中點的坐標；

（2）求得，寫出直線的參數方程，將直線的參數方程與曲線的普通方程聯立，利用韋達定理求得的值，進而可得出結論.

（1）曲線的極坐標方程可化為，即，

將代入曲線的方程得，

所以，曲線的直角坐標方程為.

將直線的極坐標方程化為普通方程得，

聯立，得或，則點、，

因此，線段的中點為；

（2）由（1）得，，

易知的垂直平分線的參數方程為（為參數），

代入的普通方程得，，

因此，.