Question

如圖，設拋物線：的焦點為，準線為，過準線上一點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，線段的中點為，直線交拋物線于，兩點．
（1）求拋物線的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點是線段的中點？若存在，求出值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），；（2）不存在.參考解析

解析試題分析：（1）由準線上一點，所以可以求得的值，即可取得拋物線的方程.由于直線與拋物線有兩個交點，所以聯立方程消去y，需要判別式大于零即可得到k的取值范圍，又由于k等于零時沒有兩個交點，所以應排除，即可得到結論.
（2）是否存在值，使點是線段的中點.由直線AB的方程聯立拋物線的方程，即可求得AB中點P的坐標.從而寫出PF的方程再聯立拋物線的方程，對比DE的中點是否與AB的中點相同.即可得到答案.
（1）由已知得，∴．∴拋物線方程為．  2分
設的方程為，，，，，
由得．                         4分
，解得，注意到不符合題意，
所以．                                   5分
（2）不存在值，使點是線段的中點．理由如下：       6分
有（1）得，所以，所以，，直線的方程為．            8分
由得，．  10分
當點為線段的中點時，有，即，因為，所以此方程無實數根．因此不存在值，使點是線段的中點．      12分
考點：1.拋物線的性質.2.聯立方程解方程組的思想.3.存在性的問題.