Question

【題目】已知函數f（x）=ln（+mx）（m∈R）．

（Ⅰ）是否存在實數m，使得函數f（x）為奇函數，若存在求出m的值，若不存在，說明理由；

（Ⅱ）若m為正整數，當x＞0時，f（x）＞lnx++，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=±1（Ⅱ）5

【解析】

（Ⅰ）根據奇函數的定義即可求出m的值，

（Ⅱ）問題轉化為ln（1+m）＞+，令g（t）=ln（1+t）-，則g（t）在（0，+∞）上單調遞增，代值驗證即可

解：（Ⅰ）存在，m=±1，

理由如下：∵f（x）=ln（+mx），

∴f（-x）=ln（-mx），

∵f（x）為奇函數，

∴f（-x）=-f（x），

即ln（-mx）=-ln（+mx），

即ln（（1-m2）x2+1）=0恒成立，

∴m=±1，

檢驗：當m=±1時，f（x）是奇函數，

（Ⅱ）由題意得：當x＞0時，ln（+mx）＞lnx++，

即ln（+m）＞+，

y=ln（+m）單調遞減，

∴ln（+m）＞ln（1+m），

即只要ln（1+m）＞+，

令g（t）=ln（1+t）-，則g（t）在（0，+∞）上單調遞增，

當m=1時，ln2＞1+不成立，

當m=2時，ln3＞+不成立，

當m=3時，ln4＞+不成立，

當m=4時，ln5＞+不成立，

當m=5時，ln6=ln2+ln3≈1.7921＞+=1.7成立，

故正整數m的最小值是5