Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax+ ，函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)也在函數(shù)g（x）的圖象上，且在此點(diǎn)有公切線． （Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）試比較f（x）與g（x）的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx=0，得x=1，所以函數(shù)f（x）=lnx的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），

依題意，得g（1）=a+b=0 ①

又 ， ，∵f（x）與g（x）在點(diǎn)（1，0）處有公切線，

∴g′（1）=f′（1）=1，即a﹣b=1 ②

由①、②得a= ， ；

（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x），

則 ，

函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．

∵ ≤0，

∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）；

當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）=F（1）=0，即f（x）=g（x）；

當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）．

綜上可知，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）≥g（x）；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜g（x）．

【解析】（Ⅰ）首先求出函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），代入函數(shù)g（x）后得到關(guān)于a，b的等式，再由兩函數(shù)在（1，0）處由公切線，得到關(guān)于a，b的另一等式，兩式聯(lián)立即可求得a，b的值；（Ⅱ）令輔助函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），把函數(shù)f（x）和g（x）的解析式代入，整理后求出其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知F（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，然后分0＜x＜1，x=1，x＞1進(jìn)行大小比較．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．