Question

若(x+

1

x

-2)n的展開式中常數項為-20，則自然數n=

 

．

Answer 1

分析：先湊二項式，再利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為0得常數項列出方程．

解答：解：(x+

1

x

-2)n=(

x

-

1

x

) 2n
(

x

-

1

x

)2n展開式的通項為Tr+1=

C

r 2n

(

x

)2n-r(-

1

x

)r=（-1）^rC_2n^rx^n-r
令n-r=0得n=r
∴展開式中常數項為（-1）ⁿC_2nⁿ
∵展開式中常數項為-20
∴（-1）ⁿC_2nⁿ=-20
∴n=3
故答案為3

點評：本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式特定項問題的工具．