Question

(本題滿分12分)在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB

（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）求二面角B—PC—D的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥BD

∵ABCD為正方形   ∴AC⊥BD

∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD內，

∴平面PAC⊥平面BPD           .。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

（Ⅱ）解法一：在平面BCP內作BN⊥PC垂足為N，連DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND為二面角B—PC—D的平面角，

在△BND中，BN=DN=，BD=

 

∴cos∠BND =。。。。。。。。。。。。。。。 12分

 

解法二：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系如圖，

在平面BCP內作BN⊥PC垂足為N連DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND為二面角B—PC—D的平面角

設

 

                              10分

 

               12分

 

解法三：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間坐標系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易證AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，

設

 

 

∵二面角B—PC—D的平面角與∠MAN互補

∴二面角B—PC—D的余弦值為 …………………………. 12分

 

【解析】略