Question

已知函數是R上的偶函數，對于任意都有成立，當，且時，都有給出下列命題：
①      ②直線是函數的圖像的一條對稱軸；
③函數在[-9，-6]上為增函數；  ④函數在[-9，9]上有4個零點。
其中正確的命題為．           （將所有正確命題的編號都填上）

Answer 1

①②④

試題分析：取，得，而，
所以，命題①正確；從而已知條件可化為，
于是 ，所以是其一條對稱軸，命題②正確；因為當，且時，都有，所以此時單調遞增，從而在上單調遞減，又從上述過程可知原函數的周期為6，從而當時，，，此時為減函數，所以命題③錯誤；同理，在[3，6]上單調遞減，所以只有，得命題④正確．綜上所述，正確命題的序號為①②④．
點評：函數的性質的考查一直以來都是熱點，尤其以奇偶性單調性周期性最為常見，求解本題的入手點在于通過中x的恰當的賦值得到周期性及圖像過的特殊點