Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=SB=SC=2CD=2，側面SBC⊥底面ABCD．
（1）由SA的中點E作底面的垂線EH，試確定垂足H的位置；
（2）求二面角E-BC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）過S作SO垂直BC于點O，由已知面面垂直得出SO⊥底面ABCD，連接AO，則SA在底面上的投影即線AO，故中點E在底面上的垂足H線段AO的中點．
（2）過H作HF垂直于BC于F，連接EF，可證得∠EFH即二面角E-BC-A的平面角．在直角三角形中求出∠EFH的三角函數值，進而根據函數值求出角．

解答：解：（1）作SO⊥BC于O，則SO?平面SBC，
又面SBC⊥底面ABCD，
面SBC∩面ABCD=BC，
∴SO⊥底面ABCD①
又SO?平面SAO，∴面SAO⊥底面ABCD，
作EH⊥AO，∴EH⊥底面ABCD②
即H為垂足，由①②知，EH∥SO，
又E為SA的中點，∴H是AO的中點．

（2）過H作HF⊥BC于F，連接EF，
由（1）知EH⊥平面ABCD，∴EH⊥BC，
又EH∩HF=H，∴BC⊥平面EFH，∴BC⊥EF，
∴∠HFE為面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角．
在等邊三角形SBC中，∵SO⊥BC，
∴O為BC中點，又BC=2．
∴SO=

22-12

=

3

，EH=

1

2

SO=

3

2

，
又HF=

1

2

AB=1，
∴在Rt△EHF中，tan∠HFE=

EH

HF

=

3 2

1

=

3

2

，
∴∠HFE=arctan

3

2

．
即二面角E-BC-A的大小為arctan

3

2

．

點評：本題考查平面與平面垂直的性質與二面角的求法，主要是訓練答題者對基本定義與定理掌握的準確性與熟練程度，本題有一點不足之處即所求出的角不是一個特殊角，致使最后的結果需用反三角函數來表示，現在的多個版本的課本上都已不把反三角函數作為必學內容．