Question

二次函數f（x）滿足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），導函數的圖象與直線y=-

x

2

垂直
（1）求f（x）的解析式
（2）若函數g（x）=

f(x)-m

x

在（0，2）上是減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數模型設出函數解析式，然后根據f（0）=2，f（x）=f（-2-x），導函數的圖象與直線y=-

x

2

垂直建立方程，解之即可；
（2）根據g（x）=x+

2-m

x

+2圖象的性質建立不等式式組，解之即可．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=2∴c=2
∵f（x）=f（-2-x）
∴圖象的對稱軸-

b

2a

=-1
導函數圖象與直線y=-

x

2

垂直
∴2a=2從而解得：a=1  b=2  
∴a=1  b=2 c=2
∴f（x）=x²+2x+2  （x∈R）…（6）
（2）g(x)=

x 2+2x+2-m

x

=x+

2-m

x

+2在（0，2）上是減函數
當2-m≤0時，該函數在（0，+∞）上單調遞增，故不符號題意．
g（x）=x+

2-m

x

+2≥2

2-m

+2
該函數在（0，

2-m

）上是減函數，在（

2-m

，+∞）上遞減
∴

2-m＞0 2-m ≥2

∴m≤-2…（12）

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及函數解析式和二次函數的性質和對勾函數的性質，屬于基礎題．