Question

為方便游客出行，某旅游點有50輛自行車供租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．設每輛自行車的日租金x（元）（3≤x≤20，x∈N^*），用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日出租自行車的總收入減去管理費用后的所得）
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？

Answer 1

分析：（1）當x≤6時，y=50x-115，令50x-115＞0，可得3≤x≤6，且x∈N．當6＜x≤20時，y=[50-3（x-6）]x-115=-3x²+68x-115．
（2）分類討論：當x≤6時，利用一次函數的單調性可得其最大值；當6＜x≤20時，利用二次函數的單調性可得其最大值．

解答：解：（1）當3≤x≤6，x∈N^*時，y=50x-115…（3分）
當6＜x≤20，x∈N^*時，y=[50-3（x-6）]x-115…（6分）
故y=f(x)=

50x-115(3≤x≤6，x∈N*) -3x2+68x-115(6＜x≤20，x∈N*)

…（7分）
（2）對于f（x）=50x-115（3≤x≤6），
∵f（x）在[3，6]遞增，
∴當x=6時，y_max=185（元）                  …（9分）
對于f(x)=-3x2+68x-115=-3(x-

34

3

)2+

811

3

(6＜x≤20)，
∵f（x）在[6，

34

3

]遞增，在[

34

3

，20]遞減，
又x∈N^*，且f（11）＞f（12）…（12分）
∴當x=11時，y_max=270（元）                 …（13分）
∵270＞185，
∴當每輛自行車的日租金定在11元時，才能使一日的凈收入最多．…（14分）

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查一次函數的單調性、二次函數的單調性、分段函數的意義、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．