Question

已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球．現在從甲、乙兩個盒內各任取2個球．
（Ⅰ）求取出的4個球均為黑色球的概率；
（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；
（Ⅲ）設ξ為取出的4個球中紅球的個數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）取出的4個球均為黑色球包括從甲盒內取出的2個球均黑球且從乙盒內取出的2個球為黑球，這兩個事件是相互獨立的，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
（2）取出的4個球中恰有1個紅球表示從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅紅，1個是黑球或從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑球兩種情況，它們是互斥的．
（3）ξ為取出的4個球中紅球的個數，則ξ可能的取值為0，1，2，3．結合前兩問的解法得到結果，寫出分布列和期望．

解答：解：（I）設“從甲盒內取出的2個球均黑球”為事件A，
“從乙盒內取出的2個球為黑球”為事件B．
∵事件A，B相互獨立，
且P(A)=

C 2 3

C 2 4

=

1

2

，P(B)=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

．
∴取出的4個球均為黑球的概率為P（A•B）=P（A）•P（B）=

1

2

×

2

5

=

1

5

．

（II）解：設“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅紅，1個是黑球”為事件C，
“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件D．
∵事件C，D互斥，
且P(C)=

C 2 3

C 2 4

.

C 1 2 ． C 1 4

C 2 6

=

4

15

，P(D)=

C 1 3

C 2 4

.

C 2 4

C 2 6

=

1

5

．
∴取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P（C+D）=P（C）+P（D）=

4

15

+

1

5

=

7

15

．

（III）解：ξ可能的取值為0，1，2，3．
由（I），（II）得P(ξ=0)=

1

5

，P(ξ=1)=

7

15

，
又P(ξ=3)=

C 1 3

C 2 4

.

1

C 2 6

=

1

30

，
從而P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

3

10

．
ξ的分布列為

ξ的數學期望Eξ=0×

1

5

+1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

．

點評：本小題主要考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．