Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝其中b>0，c∈R.當且僅當x＝－2時，函數(shù)f(x)取得最小值－2.

(1)求函數(shù)f(x)的表達式；

(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有兩個不相同的實數(shù)根，求a取值的集合．

 

Answer 1

（1）f(x)＝（2）

【解析】(1)∵當且僅當x＝－2時，函數(shù)f(x)取得最小值－2.

∴二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的對稱軸是x＝－＝－2.

且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.

∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝

(2)記方程①：2＝x＋a(x>0)，

方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．

分別研究方程①和方程②的根的情況：

(ⅰ)方程①有且僅有一個實數(shù)根?a<2，方程①沒有實數(shù)根?a≥2.

(ⅱ)方程②有且僅有兩個不相同的實數(shù)根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有兩個不相同的非正實數(shù)根．∴??－<a≤2；

方程②有且僅有一個實數(shù)根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且僅有一個非正實數(shù)根．

∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－.

綜上可知，當方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三個不相同的實數(shù)根時，－<a<2；

當方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且僅有兩個不相同的實數(shù)根時，a＝－或a＝2.

∴符合題意的實數(shù)a取值的集合為