Question

已知向量

a

=(cos

θ

2

，sin

θ

2

)，

b

=(2，1)，且

a

⊥

b

．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求

cos2θ

2 cos( π 4 +θ)•sinθ

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量的坐標，結合

a

⊥

b

，

a

•

b

=0，代入求出tan

θ

2

，再由倍角正切公式，可得tanθ的值；
（2）由（1）中結論，結合倍角公式，兩角和的余弦公式，同角三角函數關系，弦化切后，可得原式的值．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，向量

a

=(cos

θ

2

，sin

θ

2

)，

b

=(2，1)，
即

a

•

b

=0
即2cos

θ

2

+sin

θ

2

=0，⇒tan

θ

2

=-2
∴tanθ=

2tan θ 2

1-tan2 θ 2

=

2×(-2)

1-(-2)2

=

4

3

．        …（5分）
（2）原式=

cos2θ-sin2θ

2 ( 2 2 cosθ- 2 2 sinθ)sinθ

=

cosθ+sinθ

sinθ

=

(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)

(cosθ-sinθ)sinθ

=

1

tanθ

+1
=

3

4

+1=

7

4

．                           …（12分）

點評：本題考查的知識點是向量的數量積，三角函數的化簡求值，熟練掌握倍角公式，兩角和的余弦公式，同角三角函數關系等公式是解答的關鍵．