Question

對數列，規定為數列的一階差分數列，其中。 對

自然數，規定為的階差分數列，其中。

（1）已知數列的通項公式，試判斷，是否為等差或等比數列，為什么？

（2）若數列首項，且滿足，求數列的通項公式。

（3）（理）對（2）中數列，是否存在等差數列，使得對一切自然都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，則請說明理由。

Answer 1

（1）見解析（2）（3）存在

解析:

（1），∴是首項為4，公差為2的等差數列。，∴是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列。（2），即，即，∴ ，∵，∴，，，猜想：，

證明：ⅰ）當時，；ⅱ）假設時，；時，

 結論也成立， ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，。

（3），即 ，

 ∵，

 ∴存在等差數列，，使得對一切自然都成立。