Question

（2011•杭州一模）設函數f（x）=x²+（2a+1）x+a²+3a（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值為0，求a的值；
（II）若f（x）在閉區間[α，β]上單調，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求α的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據對稱軸的位置，利用二次函數的單調性求出該二次函數在閉區間上的最大值，再由最大值為0，求出a的值．
（Ⅱ） 若f（x）在[α，β]上遞增，則有（1）-

2a+1

2

≤α；（2）

f(α)=α f(β)=β

，即方程f（x）=x在[-

2a+1

2

，+∞）上有兩個不相等的實根，由

- 2a+1 2 ＜-a △＞0 g(- 2a+1 2 )≥0

求得a的取值范圍．若f（x）在[α，β]上遞減，同理求得a的取值范圍．再把a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ） 當-

2a+1

2

≤1，即：a≥-

3

2

時，f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0．
故 a=-6（舍去），或a=-1；
當-

2a+1

2

＞1，即：a＜-

3

2

時，f(x)max=f(0)=a2+3a=0．
故a=0（舍去）或a=-3．
綜上得：a的取值為：a=-1或a=-3． （5分）
（Ⅱ） 若f（x）在[α，β]上遞增，則滿足：（1）-

2a+1

2

≤α；（2）

f(α)=α f(β)=β

，
即方程f（x）=x在[-

2a+1

2

，+∞）上有兩個不相等的實根．
方程可化為x²+2ax+a²+3a=0，設g（x）=x²+2ax+a²+3a，
則

- 2a+1 2 ＜-a △＞0 g(- 2a+1 2 )≥0

，解得：-

1

12

≤a＜0．     （5分）
若f（x）在[α，β]上遞減，則滿足：
（1）-

2a+1

2

≥β；（2）

f(α)=β f(β)=α

．
由

α2+(2a+1)α+a2+3a=β β2+(2a+1)β+a2+3a=α

得，兩式相減得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α，即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α²+（2a+1）α+a²+3a=-α-2a-2，即α²+（2a+2）α+a²+5a+2=0．
同理：β²+（2a+2）β+a²+5a+2=0．
即方程x²+（2a+2）x+a²+5a+2=0在(-∞，-

2a+1

2

]上有兩個不相等的實根．
設h（x）=x²+（2a+2）x+a²+5a+2，則

- 2a+1 2 ＞-a-1 △＞0 h(- 2a+1 2 )≥0

，解得：-

5

12

≤a＜-

1

3

．    （5分）
綜上所述：a∈[-

5

12

，-

1

3

)∪[-

1

12

，0)．

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數的關系，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．