Question

已知函數f（x）=

x+3

x+1

（x≠-1）．設數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），數列{b_n}滿足b_n=|a_n-

3

|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用數學歸納法證明b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

；
（Ⅱ）證明S_n＜

2 3

3

．

Answer 1

證明：（Ⅰ）當x≥0時，f（x）=1+

2

x+1

≥1．
因為a₁=1，所以a_n≥1（n∈N^*）．
下面用數學歸納法證明不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

．
（1）當n=1時，b₁=

3

-1，不等式成立，
（2）假設當n=k時，不等式成立，即b_k≤

( 3 -1)k

2k-1

．
那么b_k+1=|a_k+1-

3

|=

( 3 -1)|ak- 3 |

1+ak

3 -1

2

bk≤

( 3 -1)k+1

2k

．
所以，當n=k+1時，不等式也成立．
根據（1）和（2），可知不等式對任意n∈N^*都成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

．
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n≤（

3

-1）+

( 3 -1)2

2

+…+

( 3 -1)n

2n-1

=（

3

-1）•

1-( 3 -1 2 )n

1- 3 -1 2

＜（

3

-1）•

1

1- 3 -1 2

=

2

3

3

．
故對任意n∈N^*，S_n＜

2

3

3

．