Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）是否存在實數，使得有三個相異零點？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（I）求出，分三種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（II）假設有三個相異零點，由（Ⅰ）的討論可知，一定有且的極大值大于0，極小值小于0，則取得極大值和極小值時或，注意到此時恒有，則必有為極小值，此時極值點滿足，即，還需滿足，換元后只需證明即可.

試題解析：（Ⅰ）由題可知 .

當，即時，令得，易知在上單調遞減，在上單調遞增.

當時，令得或.

當，即時，在，上單調遞增，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）不存在.

理由如下：假設有三個相異零點.

由（Ⅰ）的討論，一定有且的極大值大于0，極小值小于0.

已知取得極大值和極小值時或，

注意到此時恒有，則必有為極小值，

此時極值點滿足，即，還需滿足，

又 ，，

故存在使得，即存在使得.

令，即存在滿足.

令，，從而在上單調遞增，所以，

故不存在滿足，與假設矛盾，從而不存在使得有三個相異零點.