Question

下表給出一個“等差數陣”．

其中每行、每列都是等差數列，a_ij表示位于第i行第j列的數．

(1)寫出a₄₅的值．

(2)寫出a_ij的計算公式．

(3)證明正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N＋1可以寫成兩個不是1的正整數之積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)a41＝a11＋(4－1)×3＝13 　　a42＝a12＋(4－1)×5＝22 　　a45＝a41＋(5－1)×9＝49 　　(2)ai1＝a11＋(i－1)×3＝3i＋1 　　ai2＝a12＋(i－1)×5＝5i＋2 　　aij＝ai1＋(j－1)×(2i＋1)＝i＋j＋2ij 　　(3)若N是該數陣中的數，則可令N＝aij 　　故N＝i＋j＋2ij(i，j∈N*) 　　∴2N＋1＝2i＋2j＋4ij＋1＝(2i＋1)(2j＋1) 　　∴2N＋1能寫成兩個不是1的正整數之積． 　　若2N＋1＝p·q，N、p、q都是正整數， 　　且p、q不為1． 　　∵2N＋1是奇數，∴p、q都是奇數． 　　不妨設p＝2i＋1，q＝2j＋1，i，j∈N* 　　∴2N＋1＝(2i＋1)(2j＋1) 　　N＝i＋j＋2ij＝aij 　　∴N是該數陣中第i行第j列的數．