Question

已知直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各條棱長(zhǎng)均為3，∠BAD=60°．長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD₁上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與共一個(gè)頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為

 

．

Answer 1

分析：確定P的軌跡以點(diǎn)D為球心，半徑r=1的球，求出球的體積，說(shuō)明P的軌跡（曲面）與共一個(gè)頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的形狀，求出它的體積．

解答：解：|MN|=2，則|DP|=1，則點(diǎn)P軌跡是以點(diǎn)D為球心，半徑r=1的球，
則球的體積為V=

4

3

π•r3=

4π

3

，
∵∠BAD=60°∴∠ADC=120°=

1

3

•360°，
只取半球的

1

3

，則V=

4

3

π•

1

3

•

1

2

=

2π

9

.；
故答案為

2π

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合體的體積，考查計(jì)算能力，空間想象能力，是創(chuàng)新題型．