Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在處取得極值,求曲線在點處的切線方程;

（Ⅱ）討論函數的單調性;

（Ⅲ）設若對恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，先利用求得值，再利用導數的幾何意義求其切線方程；（Ⅱ）求導，通過討論二次方程的兩根的大小關系進行求解；（Ⅲ）分離參數，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，再通過求導進行處理.

試題解析：（Ⅰ）由得或（舍去）

經檢驗,當時,函數在處取得極值.

時,

則

所以所求的切線方程為 整理得.

綜上所述,曲線在點 處的切線方程為

（Ⅱ）定義域為,

令得或,則且

①當時, 此時在上單調遞增;

②當時, 在和上單調遞增,在上單調遞減；

③當時, 在上單調遞減,在上單調遞增.

綜上所述,當時, 在上單調遞增；當時, 在和上單調遞增,在上單調遞減；當時, 在上單調遞減,在上單調遞增.

（Ⅲ）由題意, ,即,

即對任意恒成立,令則

令則即在上單調遞減, 上單調遞增,

當時取得最小值

解得

又的取值范圍為

綜上所述,實數的取值范圍為