Question

已知函數(shù)．
（I）判斷的奇偶性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式；
（Ⅲ）若，證明：方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解．

Answer 1

（I）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

（1）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，利用奇偶函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（2）當(dāng)時(shí)，，然后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)軸動(dòng)區(qū)間定的最值問題來研究即可.
（3）利用圖像法，把方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來研究.
當(dāng)，若時(shí)，，方程可化為即．

y

令，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，在時(shí)的圖像從圖像確定函數(shù)與的圖像在第四象限有兩個(gè)不同交點(diǎn),從而證明方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解.

解：（I）時(shí)，是奇函數(shù)；……（1分）
時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．……（2分）
（II）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．（3分）
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
所以；……（5分）
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以．……（6分）
綜上， ．……（7分）
（III）證法一：
若，則時(shí)，，方程可化為，
即．……（8分）
令，，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) 在時(shí)的圖像…（9分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231837001543.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，即當(dāng)時(shí)
函數(shù)圖像上的點(diǎn)在函數(shù)圖像點(diǎn)的上方．……（11分）
所以函數(shù)與的圖像在第一象限有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
即方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解．…………（12分）
證法二：
若，則時(shí)，，方程可化為，
即．…………（8分）

y

令，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，在時(shí)的圖像．（9分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231837609569.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像上的點(diǎn)在函數(shù)圖像點(diǎn)的上方．…………（11分）
所以函數(shù)與的圖像在第四象限有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
所以方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解．…………（12分）