Question

【題目】函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), .

(1)求的值和函數(shù)的表達(dá)式;

(2)求證:方程在區(qū)間上有唯一解.

Answer 1

【答案】(1)f(x)＝;(2)見解析.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性,利用即可解答;根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式,特別注意當(dāng)時(shí), ;

(2)因?yàn)?/span>log22＝,所以方程在區(qū)間上有根.然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明解的唯一性即可.

試題解析：

(1)函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù).

所以f(-1)＝-f(1).

因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí),f(x)＝log2x＋x-3,所以f(1)＝log21＋1-3＝-2.

所以f(-1)＝-f(1)＝2.

當(dāng)x＝0時(shí),f(0)＝f(-0)＝-f(0),解得f(0)＝0,

當(dāng)x＜0時(shí),-x＞0,所以f(-x)＝log2(-x)＋(-x)-3＝log2(-x)-x-3.

所以-f(x)＝log2(-x)-x-3,從而f(x)＝-log2(-x)＋x＋3.

所以f(x)＝

(2)因?yàn)?/span>f(2)＝log22＋2-3＝0,所以方程f(x)＝0在區(qū)間(0,＋∞)上有解x＝2.

易知在區(qū)間(0,＋∞)上為增函數(shù)，

由零點(diǎn)存在性定理可知,方程f(x)＝0在區(qū)間(0,＋∞)上有唯一解.