Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+

3

和2-

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過橢圓的右焦點，傾斜角為

π

3

的直線交橢圓于A、B兩點，求線段AB的長；
（3）如圖，過原點相互垂直的兩條直線與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的四個交點構成四邊形PRSQ，設直線PS的傾斜角為θ(θ∈(0，

π

2

])，試問：△PSQ能否為正三角形，若能求θ的值，若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的性質，可知焦點到長軸的兩個端點的距離分別為a+c和a-c，再把所給數值代入，即可得出a，b的值，求出橢圓的方程．
（2）利用弦長公式計算即可，注意設而不求思想的運用．
（3）先假設：△PSQ能為正三角形，設直線PS的方程，則直線RQ的方程也可知，分別與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出PS與OQ的長度，再根據正三角形中的關系判斷即可．

解答：解：（1）由題意得

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得a=2，c=

3

，b=1
所求的方程為

x2

4

+y2=1
（2）直線方程為y=

3

(x-

3

)，
代入橢圓方程得13x2-24

3

x+32=0，所以

x1+x2= 24 3 13 x1x2= 32 13

，
由弦長公式求得AB=

16

13

．
（3）當P在y軸上，Q在x軸上時，△PSQ不是正三角形． 
當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，P（x₁，kx₁），則直線RQ的斜率為-

1

k

，Q(x2，-

1

k

x2)
由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

得

1

x12

=

1

4

+

k2

2

（1），同理

1

x22

=

1

4

+

1

2k2

（2）
由△PSQ為正三角形，得

3

|OP|=|OQ|，即3|OP|²=|OQ|²
所以3[x12+(kx1)2]=x22+(

x2

k

)2，化簡得

3k2

x22

=

1

x12

，
3k2(

1

4

+

1

2k2

)=

1

4

+

k2

2

，即k2=-

5

4

＜0．
所以△OPQ不是正三角形．

點評：本題主要考查了橢圓性質的應用，弦長公式的應用，以及韋達定理在解決直線與圓錐曲線位置關系判斷中的應用