Question

如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現修成草坪， 圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．

（1）設（x≥0），，求用表示的函數關系式,并求函數的定義域；
（2）．如果是灌溉水管，為節約成本，希望它最短，的位置應在哪里？如果是參觀線路，則希望它最長，的位置又應在哪里？請予證明．

Answer 1

（1）
（2） 如果是水管,當時, 最短．
如果是參觀線路,則為中線或中線時，最長．

試題分析：（1）顯然變量都在中,尋找兩邊的關系,利用余弦定理即可．但是發現還有邊存在,所以得尋找．根據面積相等,利用面積公式即可得到與的關系．消掉即可得到解析式．但是要考慮實際意義,即函數的定義域．在上,可知自變量的范圍是．
（2） 如果是水管,根據（1）中的解析式,觀察形式,可知利用均值不等式即可求得最小值．
如果是參觀線路,則要求其盡可能的長,所以分析函數的單調性求最大值即可．
（1）中，根據余弦定理有
即; ①
又,即．②
②代入①得, ∴
由題意知點至少是的中點，才能把草坪分成面積相等的兩部分。
所以，又在上，，所以函數的定義域是，
．
（2）如果是水管,
當且僅當，即時“＝”成立，故∥，且．
如果是參觀線路，記，可知
函數在上遞減，在上遞增，
故 所以．
即為中線或中線時，最長。