Question

某種商品原來每件售價為25元，年銷售量8萬件，   
（Ⅰ）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收人不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？  
（Ⅱ）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入（x²-600）萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用。試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價。

Answer 1

解：（Ⅰ）設每件定價為x元，
依題意，有，
整理得，解得，
∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元。
（Ⅱ）依題意，x＞25時，
不等式有解，
等價于x＞25時，有解，
（當且僅當x=30時，等號成立），
∴，
∴當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元。