Question

【題目】如圖所示，正四面體ABCD的外接球的體積為4π，求正四面體的體積．

Answer 1

【答案】

【解析】

設正四面體的外接球的半徑為R，由已知得R＝. 如圖，連接DE，O1D，因為AE為球的直徑，故AD⊥DE，AE⊥O1D.

設AD＝a，則由已知得O1Da，故AO1＝a.所以O1E＝2R－AO1＝2－a.

由△AO1D∽△DO1E知O1D2＝AO1·O1E，解得a＝，由此能求出正四面體ABCD的體積．

設正四面體的外接球的半徑為R，

由已知得πR3＝4π，故R＝.

如圖，連接DE，O1D，因為AE為球的直徑，故AD⊥DE，AE⊥O1D.

設AD＝a，則由已知得O1D＝×a＝a，

故AO1＝＝a.

所以O1E＝2R－AO1＝2－a.

由△AO1D∽△DO1E知O1D2＝AO1·O1E，即＝a·，解得a＝ (a＝0舍去)．

故正四面體的體積V＝×a2·AO1＝×8×＝.