Question

【題目】設定義在R上的函數f（x）對于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=﹣2，當x＞0時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）解關于x的不等式f（x+#）+f（2x﹣x2）＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x+y=0，可得f（0）=0，

令y=﹣x，則f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），

且f（x）的定義域為R，是關于原點對稱，∴f（x）為奇函數

（2）解：設x2＞x1，令﹣y=x1，x=x2 則f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1），

因為x＞0時，f（x）＜0，又x2﹣x1＞0，

故f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）＜0，

∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在R上單調遞減，

因為f（﹣1）=2∴原不等式可轉化為f（x+3）+f（2x﹣x2）＜﹣f（1）∴f（x+3）＜﹣f（2x﹣x2）﹣f（1），

∴f（x+3）＜﹣f（2x﹣x2+1）=f（﹣2x+x2﹣1），

又因為f（x）在R上單調遞減∴x+3＞﹣2x+x2﹣1，

∴x＞4或x＜﹣1，

不等式的解集為（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）

【解析】（1）令x+y=0，可得f（0）=0，令y=﹣x，則f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）；（2）由題設條件對任意x1、x2在所給區間內比較f（x2）﹣f（x1）與0的大小即可判定單調性，將不等式等價轉化為∴f（x+3）＜f（﹣2x+x2﹣1）再利用函數的單調性即可解得不等式的解集．