Question

已知函數 ．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數的圖像在點處的切線的斜率為，問： 在什么范圍取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值？
（Ⅲ）當時，設函數，若在區間上至少存在一個，使得成立，試求實數的取值范圍．

Answer 1

解：（Ι）由知：
當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；
當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；………………4分
（Ⅱ）由得
∴，.             ………………………5分

∴,
∵ 函數在區間上總存在極值，
∴有兩個不等實根且至少有一個在區間內…………6分
又∵函數是開口向上的二次函數，且，∴                                          …………7分
由，∵在上單調遞減，
所以；∴，由，解得；
綜上得： 所以當在內取值時，對于任意，函數，在區間上總存在極值 。                                                …………8分
（Ⅲ）令，則
.
1. 當時，由得，從而,
所以，在上不存在使得；…………………10分
2. 當時，,
在上恒成立，故在上單調遞增。
故只要，解得     
綜上所述，的取值范圍是…………………12分

略