Question

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）以為直徑的圓過定點(diǎn).

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的頂點(diǎn)公式求解即可.

(2) 設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達(dá)定理,并根據(jù)直線與圓相切得出的關(guān)系式,代入證明即可.

（1）因?yàn)闄E圓的離心率,所以,即.

因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),

所以,所以.所以橢圓的方程為.

（2）因?yàn)橹本�的斜率存在且不為零.故設(shè)直線的方程為.

由消去,得,

所以設(shè),則.

所以.

所以.①

因?yàn)橹本�和圓相切,所以圓心到直線的距離,

整理,得,②

將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)

綜上可知,以為直徑的圓過定點(diǎn).