Question

（本題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥底面,，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).                                                   
（Ⅰ）求點(diǎn)到平面的距離；
(Ⅱ) 若，求二面角的平面角的余弦值 .

Answer 1

（Ⅰ）；(Ⅱ)

(I)可以利用體積法求解，根據(jù)．也可利用向量法．
(II)可以考慮向量法，建系后，求出二面角兩個(gè)面的法向量，然后求出法向量的夾角，再根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)求解．
解：(Ⅰ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 分別為軸、軸、軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，  .因此），，.
則，所以⊥平面.又由∥知∥平面，故點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離，即為…（6分）
（Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231932459587.png" style="vertical-align:middle;" />，則.設(shè)平面的法向量，則由可解得：，同理可解得
平面的法向量，故
所以二面角的平面角的余弦值為.               ……（12分）
注：此題也可用傳統(tǒng)法解答，可類似給分.