Question

若2sinα-cosβ=2，則sinα+2cosβ的取值范圍是（　　）

• A．[-3，3]
• B．[-

  3

  2

  ，

  7

  2

  ]
• C．[-2，2]
• D．[-

  3

  2

  ，1]

Answer 1

分析：由題意可得cosβ=2sinα-2，由cosβ∈[-1，1]可得sinα的范圍，然后代入要求的式子可消去sinβ，由前面的范圍可得要求的范圍．

解答：解：由題意可得：cosβ=2sinα-2，由cosβ∈[-1，1]可得
-1≤2sinα-2≤1，解得

1

2

≤sinα≤

3

2

，又-1≤sinα≤1，
所以

1

2

≤sinα≤1，而sinα+2cosβ=sinα+2（2sinα-2）=5sinα-4，
故

5

2

≤5sinα≤5，即-

3

2

≤5sinα-4≤1，即5sinα-4∈[-

3

2

，1]
故選D

點評：本題考查三角函數取值范圍，利用正余弦本身的值域是解決問題的關鍵，屬基礎題．