Question

已知實數組成的數組（x₁，x₂，x₃，…，x_n）滿足條件：①

n

i=1

xi=0；     ②

n

i=1

|xi|=1．
（1）當n=2時，求x₁，x₂的值；
（2）當n=3時，求證：|3x₁+2x₂+x₃|≤1；
（3）設a₁≥a₂≥a₃≥…≥a_n，且a₁＞a_n（n≥2），求證：|

n

i=1

aixi|≤

1

2

(a1-an)．

Answer 1

分析：（1）當n=2時，通過已知條件列出方程組，然后求x₁，x₂的值；
（2）當n=3時，利用條件列出x₁+x₂+x₃=0，|x₁|+|x₂|+|x₃|=1，通過|3x₁+2x₂+x₃|=|x₁+2（x₁+x₂+x₃）-x₃|，
然后證明|3x₁+2x₂+x₃|≤1；
（3）通過a₁≥a_i≥a_n，且a₁＞a_n（i=1，2，3，…，n）．轉化為|（a₁-a_i）-（a_i-a_n）|≤|（a₁-a_i）+（a_i-a_n）|=|a₁-a_n|，推出|a₁+a_n-2a_i|≤|a₁-a_n|，借助（2）的證明方法證明：|

n

i=1

aixi|≤

1

2

(a1-an)．

解答：解：（1）解：

x1+x2=0，(1) |x1|+|x2|=1. (2)

由（1）得x₂=-x₁，再由（2）知x₁≠0，且x₂≠0．
當x₁＞0時，x₂＜0．得2x₁=1，所以

x1= 1 2 x2=- 1 2 .

…（2分）
當x₁＜0時，同理得

x1=- 1 2 x2= 1 2 .

…（4分）
（2）證明：當n=3時，
由已知x₁+x₂+x₃=0，|x₁|+|x₂|+|x₃|=1．
所以|3x₁+2x₂+x₃|=|x₁+2（x₁+x₂+x₃）-x₃|=|x₁-x₃|≤|x₁|+|x₃|≤1．…（9分）
（3）證明：因為a₁≥a_i≥a_n，且a₁＞a_n（i=1，2，3，…，n）．
所以|（a₁-a_i）-（a_i-a_n）|≤|（a₁-a_i）+（a_i-a_n）|=|a₁-a_n|，
即|a₁+a_n-2a_i|≤|a₁-a_n|（i=1，2，3，…，n）．…（11分）
|

n

i=1

aixi|=|

n

i=1

aixi-

1

2

a1

n

i=1

xi-

1

2

an

n

i=1

xi|
=

1

2

|

n

i=1

(2ai-a1-an)xi|
≤

1

2

n

i=1

(|a1+an-2ai||xi|）
≤

1

2

n

i=1

(|a1-an||xi|)
=

1

2

|a1-an|

n

i=1

|xi|
=

1

2

(a1-an)．…（14分）

點評：本題考查含絕對值不等式的證明，方程組的求法，注意求和表達式的應用，考查轉化思想與計算能力．