Question

【題目】函數f（x）=xln（ax+1）（a≠0）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若a＞0且滿足：對x1 ， x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤ln3﹣ln2，試比較ea﹣1與 的大小，并證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， ． 當a＞0時，f'（x）＞0，f'（x）單調遞增，又f'（0）=0，
所以當 時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當a＜0時，f'（x）＜0，f'（x）單調遞減，又f'（0）=0，
所以當x∈（﹣∞，0）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當 時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
（Ⅱ）當a＞0時，由 得a≤1．
由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，0]上單調遞減，在[0，1]上單調遞增，
所以對x1 ， x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤ln3﹣ln2，
等價于 即 解得 ；
令 ，g′（x）=1﹣（1﹣ ） ，
時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減；
當 時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；
又 ，所以 ．
即 ，所以
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）問題等價于 ，解得a的范圍，令 ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．